Visualisierung von Rauschen: Gehirnscan

Gehirnscans

Eines der häufigst verwendeten Verfahren um Bilder des Gehirns zu erhalten, ist das MRT.

Das Gehirn besteht größtenteils aus Fett- und Wassermolekülen. Jedes Wassermolekül hat zwei Wasserstoffkerne bzw. Protonen. Das MRT (Magnetresonanztomograph) arbeitet nach den Prinzipien der Kernspinresonanz (NMR), um die räumliche Lage und die zugehörigen Eigenschaften der Protonen im Gehirn abzubilden. Dabei nutzt man die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Feld und Kernspin aus. Werden die Protonen durch ein starkes Magnetfeld angeregt, können die dabei entstehenden Signale detektiert und verarbeitet werden.

Rauschen: Das Signal selber ist schwach, damit steigt die Gefahr “falsche” Signale zu messen. Daher ist es wichtig, während der Durchführung des MRTs den Einfluss möglicher Störfaktoren zu minimieren. Manches lässt sich aber nicht vermeiden, dazu gehören zum Beispiel Bewegungen aufgrund der Atmung, Augenbewegungen, Puls, und das sogenannte “thermische Rauschen”. Ein solches Rauschen verschlechtert die Erfassung beliebiger quantitativer Messungen aus den Daten.

Um die Qualität der Daten zu verbessern, wendet man Entrauschungsverfahren an. Geht man davon aus, dass das Rauschen alle gemessenen Frequenzen gleichmäßig beeinflusst, ist es unabhängig von der Quelle der Rauschens und kann als additives weißes Rauschen modelliert werden. Dies ist ein Modell bei dem das Nutzsignal durch das gaußverteilte Rauschsignal überlagert wird, d.h.
$$Y = \mu + \varepsilon$$
Dabei ist $Y$ das gemessene Signal, $\varepsilon$ das Rauschen mit Erwartungswert $E(\varepsilon)=0$ und Varianz $Var(\varepsilon)=\sigma^2$ und $\mu$ das wahre (unverrauschte) Signal.
Dann gilt für den Erwartungswert des gemessenen Signals
$$E(Y)=\mu.$$
Mit diesem Wissen lassen sich verschiedene Methoden entwickeln, die das Rauschen entfernen, ohne dass dabei wichtige Informationen verloren gehen.

Erweiterung:

Jedes Proton besitzt ein magnetisches Moment infolge seines Kernspins.
Wirkt ein gleichmäßiges magnetisches Feld $B_0$ auf die Protonen ein, so nehmen sie einen der beiden Eigenzustände (spin-up bzw. spin-down) an.

Wenn nun ein resonanter Radiofrequenzimpuls (`"schräg" zu $B_0$) auf die Kerne einwirkt, werden sie aus ihrer Gleichgewichtslage gebracht.
Dadurch wird die Gesamtmagnetisierung von ihrer urspünglichen Ausrichtung wegbewegt.
Entfernt man das Erregerfeld wieder, beginnen die Kerne zu präzedieren.

Diese resonante Anregung der Protonen und anschließende Präzession induziert ein elektrisches Signal in einem Empfängerstromkreis - das NMR-Signal.

Dieses komplexe Signal wird erfasst und die Frequenz- sowie Phasendaten im sogenannten k-Raum gesammelt. Eine inverse 2D-Fouriertransformation erzeugt dann aus diesen k-Raum-Daten das erwünschte Graustufenbild.

Es wird angenommen (da die Fouriertransformation orthogonal und linear ist), dass das Rauschen im k-Raum in MR-Daten ein Gaußprozess mit Erwartungswert Null und gleicher Varianz sowohl in Real- als auch in Imaginärteilen ist.
Üblicherweise werden die komplexwertigen Bilder in Magnituden-Bilder umgewandelt (also $\sqrt{Re^2 + Im^2}$).

Entrauschungsverfahren können sowohl im k-Raum (Signalraum) als auch im Bildraum (nach der Transformation der Daten in das Graustufenbild) angewendet werden. Da das MRT-Bild für die Diagnostik relevante Details enthält, ist eine sinnvolle Auswahl des Verfahrens von großer Bedeutung. So neigen einige Entrauschungsmethoden beispielsweise dazu, das Bild zu stark zu glätten, so dass essentielle Informationen verloren gehen.