Stat2See - Visualisierungen

Statistische Regression

Sehr viele praktische Fragestellungen lassen sich als eine Regression auffassen. Dabei geht es darum, aus gemessenen Daten Rückschlüsse auf einen deterministischen Zusammenhang zu ziehen.

Was ist der Einfluss des Alters eines Angestellten auf dessen Gehalt?
Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Wetter und dem DAX Index?
Mit welcher Entscheidungsregel lassen sich Gesichter auf Fotos erkennen?
Wie groß ist der Wärmeleitkoeffizient eines Werkstoffs?
Wie ist der Zusammenhang zwischen Umgebungstemperatur und Bremsweg eines PKW?

Diese Fragen lassen sich auf einer abstrakten Ebene wie folgt formalisieren ...mehr

Digitalkamera

Bei einer Digitalkamera nutzen die Pixel des Bildsensors den photovoltaischen Effekt aus: Einfallende Lichtstrahlen (d.h. die Photonen) lösen einzelne Elektronen (negativ geladen) aus den Siliziumatomen und hinterlassen dort Löcher (negativ geladen). Die Elekronen wandern zu einem Pol, die Löcher zum anderen: Es fließt ein Strom, der ausgelesen wird und die Bildinformation ergibt. Bevor die Ladungen die Pole erreichen, können sie jedoch untereinander rekombinieren, d.h. ein Elektron rekombiniert mit einem Loch. Dies ist ein Zufallsprozess, die Rekombination geschieht, wenn Elektron und Loch sich zu nahe kommen. Hierdurch schwankt der erzeugte Strom auch bei konstantem Licht in zufälliger Weise. Wird nun der Strom vom Bildensor verstärkt, so wird auch das Rauschen verstärkt (und zusätzlich das Rauschen der elektronischen Schaltung, das es ebenfalls gibt). Filmt man bei Dunkelheit mit einer hohen ISO-Zahl (= hohe Verstärkung), so sieht man die zufällige Rekombination der Elektronen-Loch-Paare.

Der folgende kurze Film zeigt diesen Effekt, den sie auch bei ihrer Digitalkamera reproduzieren können. Zwischdurch wird die ISO-Zahl kurzzeitig abgesenkt, so dass das Bild dunkler aber rauschärmer wird. Gegen Ende des Films wird die ISO-Zahl wieder erhöht, so dass sich das Rauschen wieder erhöht. Das Rauschen erscheint als Farbrauschen, da die Pixel des Bildsensors unterschiedlichen Farben zugeordnet sind (Stichwort: Bayer-Filter).

Ein einfaches stochastisches Modell für das Rauschen eines Pixels ist gegeben durch... mehr

Gehirnscans

Eines der häufigst verwendeten Verfahren um Bilder des Gehirns zu erhalten, ist das MRT.

Das Gehirn besteht größtenteils aus Fett- und Wassermolekülen. Jedes Wassermolekül hat zwei Wasserstoffkerne bzw. Protonen. Das MRT (Magnetresonanztomograph) arbeitet nach den Prinzipien der Kernspinresonanz (NMR), um die räumliche Lage und die zugehörigen Eigenschaften der Protonen im Gehirn abzubilden. Dabei nutzt man die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Feld und Kernspin aus. Werden die Protonen durch ein starkes Magnetfeld angeregt, können die dabei entstehenden Signale detektiert und verarbeitet werden.

Rauschen: Das Signal selber ist schwach, damit steigt die Gefahr “falsche” Signale zu messen. Daher ist es wichtig, während der Durchführung des MRTs den Einfluss möglicher Störfaktoren zu minimieren. Manches lässt sich aber nicht vermeiden, dazu gehören zum Beispiel Bewegungen aufgrund der Atmung, Augenbewegungen, Puls, und das sogenannte “thermische Rauschen”. Ein solches Rauschen verschlechtert die Erfassung beliebiger quantitativer Messungen aus den Daten.

Um die Qualität der Daten zu verbessern, wendet man Entrauschungsverfahren an. Geht man davon aus, dass das Rauschen alle gemessenen Frequenzen gleichmäßig beeinflusst, ist es unabhängig von der Quelle der Rauschens und kann als additives weißes Rauschen modelliert werden. Dies ist ein Modell bei dem das Nutzsignal durch das gaußverteilte Rauschsignal überlagert wird, d.h.
$$Y = \mu + \varepsilon$$
Dabei ist $Y$ das gemessene Signal, $\varepsilon$ das Rauschen mit Erwartungswert $E(\varepsilon)=0$ und Varianz $Var(\varepsilon)=\sigma^2$ und $\mu$ das wahre (unverrauschte) Signal.
Dann gilt für den Erwartungswert des gemessenen Signals
$$E(Y)=\mu.$$
Mit diesem Wissen lassen sich verschiedene Methoden entwickeln, die das Rauschen entfernen, ohne dass dabei wichtige Informationen verloren gehen. ...mehr