Meilenstein M2

Lern- und Testfragen Block A

Was ist der Unterschied zwischen der Ergebnismenge $ \Omega $ und dem dem Stichprobenraum $ \mathcal{X} $?
Wie lautet die Definition des Begriffs Statistik? Ist $ T(X_1, \dots, X_n) = \{ 1 \} $ eine Statistik?
Was versteht man unter einem Verteilungsmodell?
Erweitern Sie Beispiel 3.2.1 auf den Fall $ \vartheta \in \{ 1/4, 1/2, 3/4 \} $. Geben Sie für alle möglichen Realisationen $ y $ den Maximum-Likelihood-Schätzer an.
Zu Schätzen sei der Parameter $ \lambda $ im Modell der Exponentialverteilung. Geben Sie die Verteilungsfamilie formal an. Stellen Sie die Likelihood-Funktion auf. Bestimmen Sie den ML-Schätzer. Welchen Wert erhalten Sie, wenn $ \overline{x} = 10 $ beobachtet wird?
Betrachten Sie den Schätzer $ T(X_1, \dots, X_n) = (X_1 + 2 + X_4)/2 $, wobei $ X_1, \dots, X_n $ eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $ n \ge 3 $. Bestimmen Sie Bias, Varianz und MSE bzgl. des zu schätzenden Verteilungsparameters $ \mu = E(X_1) $. Geben Sie einen Schätzer an, der stets besser ist.
Kann ein verzerrter Schätzer konsistent sein? Falls nein, geben Sie ein Gegenbeispiel an.
Geben sei eine normalverteilte Zufallsstichprobe vom Umfang $ n = 20 $, aus deren Realisation sich die Werte $ \sum_{i=1}^n x_i = 100 $ und $ S^2 = 10 $ ergeben. Geben Sie ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert zum Konfidenzniveau $ 0.9 $ an.
Diskutieren Sie die folgende Interpretation: Ein Konfidenzintervall ist ein Intervall, in dem der wahre Wert des Schätzers mit Wahrscheinlichkeit $ 1 - \alpha $ liegt.
Führen Sie die auf S. 158 nicht ausgeführten Umformungen, die auf das Konfidenzintervall für den Parameter $ \lambda $ der Poisson-Verteilung führen, konkret durch. Hat das Konfidenzintervall exakt (und bei jedem Stichprobenumfang) das Konfidenzniveau $ 1 - \alpha $?

Block B

Welche statistischen Testprobleme für das Binomialmodell kennen Sie? Geben Sie jeweils ein Beispiel an.
Was versteht man unter den folgenden Begriffen: Fehler 2. Art, Signifikanzniveau, Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art, Schärfe, Nullhypothese.
Was passiert mit den Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art, wenn der Stichprobenumfang erhöht wird?
Illustrieren Sie an einer Skizze die folgenden Begriffe für einen einseitigen Test: Kritischer Bereich, Signifikanzniveau, $ t_{obs} $, $ P $-Wert.
Kann man für das Testproblem $ H_0 : \mu \le 100 $ versus $ H_1 : \mu > 100 $ die Teststatistik $$ T = \sqrt{n} \frac{ |\overline{X}_n - \mu| }{ S } $$ verwenden?
Sehen Sie sich das Videotutorial zum Zentralen Grenzwertsatz an. Berechnen Sie für den Autohersteller ein Konfidenzintervall für den erwarteten Gewinn zum Konfidenzniveau $ 95\% $, wenn $ \overline{x} = 0.5 $ Mio Euro gegeben ist.
Für eine normalverteilte Stichprobe ergebe die Berechnung eines Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau $ 95\% $ für den Erwartungswert das Intervall $ [0.5, 3.8] $. Können Sie die Hypothese $ H_0 : \mu = 0 $ auf dem $5\%$-Niveau ablehnen?
Führen Sie eine Fallzahlplanung durch, wenn eine Differenz von $ d = 10 $ als relevant angesehen wird und mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 95\% $ aufgedeckt werden soll ( $ n = 36, \alpha = 0.1 $ ).
In Beispiel 3.7.3 wird offenkundig nicht auf das richtige Beispiel Bezug genommen. Suchen Sie das richtige Beispiel heraus und prüfen Sie, ob die Berechnungen stimmen.
Wie gehen Sie in Beispiel 3.7.3 vor, wenn die Varianzen ungleich sind? Welches Ergebnis ergibt sich jetzt?
Wie gehen Sie in Beispiel 3.7.3 vor, wenn zwar angenommen werden kann, dass die Verteilungen in beiden Stichproben dieselbe Form haben, aber keine Normalverteilungen sind?
Betrachten Sie die Datensätze $ (X_1,X_2,X_3,X_4) = (1.3, 6.5, 2.4, 3.3) $ und $ (Y_1,Y_2,Y_3,Y_4,Y_5) = (2.1, 3.1, 4.8, 6.8, 8.1) $. Markieren Sie beide Datensätze auf der reellen Achse, schreiben Sie über die Beobachtungen die Beobachtungsnummer dazu und notieren Sie unter den Beobachtungen die Rangzahlen. Berechnen Sie die Teststatistik des Wilcoxon-Rangsummentests.
Formulieren Sie das stochastische Modell der linearen Einfachregression. Warum wird angenommen, dass die Fehlerterme Erwartungswert 0 haben?
Leiten Sie die Normalgleichungen her und hieraus die Formeln für die KQ-Schätzer im Regressionsmodell.
Erläutern Sie, warum das Bestimmtheitsmaß $ R^2 $ so bezeichnet wird. Mit welcher grundlegenden Statistik hängt es zusammen?
Gibt es einen Zusammenhang (bzw. mehrere Zusammenhänge) zwischen dem Wert des Korrelationskoeffizienten und dem Steigungsmaß der Regressionsgerade? Wenn ja, welche(n)?
Die Teststatistik $ T_b $ für den Test des Steigungskoeffizienten nehmen für einen Datensatz den Wert $ 7.8 $ an. Was können Sie hieraus schließen?