44 - Analyse von Kontingenztafeln

Vergleich diskreter Verteilungen

Definitionen

Eine Kontingenztafel habe $r$ Zeilen und $s$ Spalten mit insgesamt $N$ Beobachtungen.
Zeilenweise liegen diskrete Verteilungen einer Zielgröße mit $s$ Ausprägungen vor, der Stichprobenumfang ist fest.
Sei $N_{ij}$ die Anzahl der Beobachtungen in Zeile $i$ und Spalte $j$, dann ist $(N_{i1},\ldots,N_{is})$ die Häufigkeitsverteilung der $i$-ten Zeile vom Stichprobenumfang $N_{i\ast}=\sum_{j=1}^sN_{ij}$ .

Testproblem

$H_0$: Alle Zeilenverteilungen gleich, d.h. nur eine Verteilung $p_1,\ldots,p_s$.
Die Daten können dann spaltenweise zusammengefasst werden zur Randverteilung $(N_{\ast1},\ldots,N_{\ast s})$ , wobei $N_{\ast j}=\sum_{i=1}^rN_{ij}$ die $j$-te Spaltensumme ist.
Die $p_j$ werden durch $$\hat{p}_j=\frac{N_{\ast j}}{N}, \quad j=1,\ldots,s,$$geschätzt.
Unter $H_0$ ist der Erwartungswert von $N_{ij}$ $$E_{ij}=E_{H_0}(N_{ij})=N_{i\ast}p_j,$$ da $N_{ij}\sim\text{Bin}(N_{i\ast},p_j)$. $E_{ij}$ wird geschätzt durch $$\hat{E}_{ij}=N_{i\ast}\hat{p}_j=\frac{N_{i\ast}N_{\ast j}}{N}.$$

Chiquadrat-Test

Sei $$Q=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\frac{(N_{ij}-N_{i\ast}N_{\ast j}/N)^2}{N_{i\ast}N_{\ast j}/N}.$$ Der Chiquadrat-Test zum Vergleich diskreter Verteilungen verwirft $H_0$, wenn $Q>\chi^2((r-1)(s-1))_{1-\alpha}$.

Bei einer $2\times2$-Kontingenztafel mit Einträgen $a,b,c,d$ ist$$Q=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.$$

Chiquadrat-Unabhängigkeitstest

Definitionen

Die Kontingenztafel habe $r$ Zeilen und $s$ Spalten.
Sie bestehe aus durch Kreuzklassifikation von $N$ zufällig ausgewählten statistischen Einheiten nach zwei nominal skalierten Merkmalen $X$ und $Y$.
$X$ habe $r$ Ausprägungen $a_1,\ldots,a_r$, $Y$ habe $s$ Ausprägungen $b_1,\ldots,b_s$.
$N_{ij}$ ist dann die Häufigkeit der Kombination $(a_i,b_j)$.

Testproblem

$H_0$: $X$ und $Y$ sind stochastisch unabhängig.
Sind $(p_1,\ldots,p_r)$ bzw. $(q_1,\ldots,q_s)$ die Verteilungen von $X$ bzw. $Y$, dann ist $E_{ij}=E_{H_0}(N_{ij})=Np_iq_j$, da $N_{ij}\sim\text{Bin}(N,p_{ij})$ mit $p_{ij}=p_iq_j$, und wird durch $$\hat{E}_{ij}=\frac{N_{i\ast}N_{\ast j}}{N}$$ geschätzt.

Chiquadrat-Test

Sei $$Q=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\frac{(N_{ij}-N_{i\ast}N_{\ast j}/N)^2}{N_{i\ast}N_{\ast j}/N}.$$ Der Chiquadrat-Test zum Test auf Unabhängigkeit verwirft $H_0$, wenn $Q>\chi^2((r-1)(s-1))_{1-\alpha}$.

Unter $H_0$ ist $Q$ in großen Stichproben $\chi^2((r-1)(s-1))$-verteilt.