22 - Deskriptive Zeitreihenanalyse

Zeitreihen

Eine Zeitreihe ist ein Datensatz $$(y_1,t_1),\ldots,(y_n,t_n),$$ wobei $t_1,\ldots,t_n$ strikt geordnete Zeitpunkte sind, d.h. $t_1 < \ldots < t_n$ und $y_i$ zur Zeit $t_i$ erhoben wird, $i=1,\ldots,n$. Die Zeitpunkte sind äquidistant, wenn es ein $\Delta>0$ gibt, sodass $t_i=\Delta i, i=1,\ldots,n$.

Üblicherweise spricht man von einer Zeitreihe $y_1,\ldots,y_T$, wenn $y_t$ am $t$-ten Zeitpunkt erhoben wurde.

Preisindizes

Betrachte einen fiktiven Warenkorb mit $I$ Gütern. Seien $$p_i(t), \quad t=1,\ldots,T, \ i=1,\ldots,I,$$ Preise der $I$ Güter an $T$ Zeitpunkten. $x_1(t),\ldots,x_I(t)$ seien die Mengen der Güter zur Zeit $t$.

Preisindex nach Laspeyres

Der Preisindex nach Laspeyres ist definiert durch das gewichtete Mittel $$P_L(t)=\sum_{i=1}^I\ w_i\frac{p_i(t)}{p_i(0)}=\frac{\sum_{i=1}^I\ p_i(t)x_i(0)}{\sum_{j=1}^I\ p_j(0)x_j(0)}$$ der Preisänderungen, wobei $$w_i=\frac{p_i(0)x_i(0)}{\sum_{j=1}^I\ p_j(0)x_j(0)}, \quad i=1,\ldots,I.$$ Die Gewichte $w_i$ entsprechen dem Ausgabenanteil des $i$-ten Guts bei Kauf des Warenkorbs.

Preisindex nach Paasche

Der Preisindex nach Paasche berechnet sich durch $$P_P(t)=\sum_{i=1}^I\ \frac{p_i(t)}{p_i(0)}w_i(t),$$ wobei $$w_i(t)=\frac{p_i(t)x_i(t)}{\sum_{j=1}^I\ p_j(t)x_j(t)}, \quad i=1,\ldots,I.$$ Die Gewichte $w_i(t)$ entsprechen dem anteiligen Wert des $i$-ten Guts zum Zeitpunkt $t$ bei jeweils angepasstem Warenkorb.

Zerlegung von Zeitreihen

Oft wird angenommen, dass sich eine Zeitreihe additiv aus mehreren Komponenten zusammen setzt: $$y_t=m_t+k_t+s_t+\epsilon_t, \quad t=1,\ldots,T.$$ Dabei heißt $m_t$ Trendkomponente, $k_t$ Konjunkturkomponente, $s_t$ Saisonkomponente und $\epsilon_t$ irreguläre Komponente. $m_t, k_t$ und $s_t$ bilden zusammen die systematische Komponente (oder glatte Komponente).

Bestimmung und Bereinigung der Trendkomponente

Das gängigste parametrische Trendmodell unterstellt einen linearen Zeittrend in den Daten: $$Y_t=a+bt+\epsilon_t, \quad t=1,\ldots,T.$$ Die Schätzung wird in der Regel mit der KQ-Methode durchgeführt.

Die sogenannte Bereinigung um den linearen Trend erreicht man durch den Übergang zu den geschätzten Residuen: $$\hat{\epsilon}_t=y_t-\hat{a}-\hat{b}t, \quad t=1,\ldots,T.$$ Man spricht dann auch von trendbereinigten Daten.

Gleitender Durchschnitt

Bei einem gleitenden Durchschnitt der Ordnung $2q+1$ erfolgt an jedem Zeitpunkt $t$ eine Mittelung der $2q$ zeitlich nächsten Beobachtungen: $$\hat{m}_t=\frac{y_{t-q}+\ldots+y_t+\ldots+y_{t+q}}{2q+1}, \quad t=q+1,\ldots,n-q.$$ Für $t\leq q$ und $t>n-q$ ist $\hat{m}_t$ nicht definiert.

Bestimmung einer periodischen Komponente

Die parametrische Modellierung einer periodischen Komponente (Saison- oder Konjunkturkomponente) kann durch $$s_t=b_0+c_1\sin(2\pi t /L), \quad t=1,\ldots,T,$$ oder allgemeiner $$s_t=b_0+\sum_{k=1}^K\ b_k\cos(2\pi t/L)+\sum_{k=1}^{K-1}\ c_k\sin(2\pi t/L)$$ erfolgen. Dabei ist $L$ die Periode. Die Schätzung der Koeffizienten $b_0,b_1,c_1,\ldots,b_K,c_K$ wird meist mit der KQ-Methode durchgeführt.