40 - 2-Stichproben-Tests
Verbundene Stichproben
Gegeben sei eine Zufallsstichprobe $$(X_1,Y_1),\ldots,(X_n,Y_n)$$ von bivariat normalverteilten Zufallsvariablen. Es soll untersucht werden, ob sich die Erwartungswerte $$\mu_X=E(X_i) \quad \text{und} \quad \mu_Y=E(Y_i)$$ unterscheiden.
Sei $$D_i=Y_i-X_i, \quad i=1,\ldots,n, \quad \text{und} \quad \bar{D}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nD_i,$$ sowie \(\delta=E(D_i)=\mu_Y-\mu_X\) und \(S_D^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(D_i-\bar{D})^2\). Definiere das Testproblem $$H_0: \delta=0 \Leftrightarrow \mu_x=\mu_Y \quad \text{gegen} \quad H_1: \delta\neq0 \Leftrightarrow \mu_X\neq\mu_Y.$$ Dann wird \(H_0\) auf dem Signifikanzniveau \(\alpha\) verworfen, wenn für $$T=\frac{\bar{D}}{S_D/\sqrt{n}}$$ gilt, dass \(|T|>t(n-1)_{1-\alpha/2}\).
Beim einseitigen Testproblem \(H_0:\delta\leq0\) gegen \(H_1:\delta>0\) wird \(H_0\) verworfen, wenn \(T>t(n-1)_{1-\alpha}\). Analog wird \(H_0:\delta\ge0\) zugunsten von \(H_1:\delta<0\) verworfen, wenn \(T<t(n-1)_{\alpha}\).
Unverbundene Stichproben
Gegeben seien zwei unabhängige Stichproben $$X_{11},\ldots,X_{1n_1} \stackrel{i.i.d.}{\sim}N(\mu_1,\sigma_1^2)$$ $$X_{21},\ldots,X_{2n_2}\stackrel{i.i.d.}{\sim}N(\mu_2,\sigma_2^2).$$
F-Test auf Varianzhomogenität
Gilt \(\sigma_1\ne\sigma_2\), spricht man von Varianzinhomogenität oder Heteroskedastizität und heteroskedastischen Daten. Ansonsten liegt Varianzhomogenität vor.
Seien $$S_1^2=\frac{1}{n_1-1}\sum_{j=1}^{n_1}(X_{1j}-\bar{X}_1)^2 \quad \text{und} \quad S_2^2=\frac{1}{n_2-1}\sum_{j=1}^{n_2}(X_{2j}-\bar{X}_2)^2,$$ dann ist die \(F\)-Teststatistik definiert durch $$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}.$$
Der \(F-\)Test auf Varianzgleichheit verwirft \(H_0: \sigma_1=\sigma_2\), wenn \(F<F(n_1-1,n_2-1)_{\alpha/2}\) oder \(F>F(n_1-1,n_2-1)_{1-\alpha/2}\).
\(t\)-Test auf Lageunterschied
Der 2-Stichproben \(t\)-Test verwirft \(H_0: \mu_1=\mu_2\) zugunsten von \(H_1: \mu_1\neq\mu_2\), wenn \(|T|>t(n-2)_{1-\alpha/2}\). Analog verwirft der einseitige Test \(H_0:\mu_1\le\mu_2\) zugunsten von \(H_1:\mu_1>\mu_2\), wenn \(T<t(n-2)_{\alpha}\), und \(H_0:\mu_1\ge\mu_2\) zugunsten von \(H_1:\mu_1<\mu_2\), falls \(T>t(n-2)_{1-\alpha}\).
Welchs Test
Sei \(\sigma_1\neq\sigma_2\). Weiter sei $$T=\frac{\bar{X}_2-\bar{X}_1}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}$$ und $$df=\frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\left(\frac{S_1^2}{n_1}\right)^2\frac{1}{n_1-1}+\left(\frac{S_2^2}{n_2}\right)^2\frac{1}{n_2-1}}.$$ Der Welch-Test verwirft \(H_0:\mu_1\le\mu_2\) zugunsten von \(H_1:\mu_1>\mu_2\), wenn \(T>t(df)_{\alpha}\). \(H_0: \mu_1\ge\mu_2\) wird zugunsten von \(H_1:\mu_1<\mu_2\) verworfen, wenn \(T>t(df)_{1-\alpha}\).
Fallzahlplanung
Sei \(n_1=n_2=n\).
Einseitiger Test: Wähle $$n\ge\frac{\sigma^2}{\Delta^2}(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta})^2,$$ um eine Schärfe von \(1-\beta\) bei einer Abweichung von \(\Delta=|\mu_A-\mu_B|\) näherungsweise zu erzielen.
Zweiseitiger Test: Wähle $$n\ge\frac{\sigma^2}{\Delta^2}(z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta})^2,$$ um eine Schärfe von \(1-\beta\) bei einer Abweichung von \(\Delta=|\mu_A-\mu_B|\) näherungsweise zu erzielen.
Wilcoxon-Test
Seien $$X_{i1},\ldots,X_{in_i} \sim F_i(x), \quad i=1,2.$$ Weiter sei \(R_{ij}=k\), wenn \(X_{ij}=W_{(k)}\) der \(k\)-te Wert in der Ordnungstatistik der Gesamtstichprobe ist. Definiere $$W=\sum_{j=1}^{n_2}R_{2j}$$ und $$T=\frac{W-n_1n_2/2}{\sqrt{n_1n_2(n+1)/12}} \sim_n N(0,1).$$
Betrachte das Testproblem $$H_0: \Delta=0 \Leftrightarrow F_1=F_2 \quad \text{gegen} \quad H_1: \Delta\ne0 \Leftrightarrow F_!\ne F_2.$$ Der Wilcoxon-Test verwirft \(H_0\) auf dem Niveau \(\alpha\), wenn \(|T|>z_{1-\alpha/2}\) bzw. wenn $$W>\frac{n_1n_2}{2}+z_{1-\alpha/2}\sqrt{n_1n_2(n+1)/12}$$ oder $$W<\frac{n_1n_2}{2}-z_{1-\alpha/2}\sqrt{n_1n_2(n+1)/12}.$$
2-Stichproben Binomialtest
Seien $$Y_1\sim\text{Bin}(n_1,p_1), \quad Y_2\sim\text{Bin}(n_2,p_2)$$ unabhängig.
Betrachte das Testproblem $$H_0: p_1=p_2 \quad \text{gegen} \quad H_1:p_1\ne p_2.$$ Seien $$\hat{p}_1=\frac{Y_1}{n_1} \quad \text{und} \quad \hat{p}_2=\frac{Y_2}{n_2}$$ sowie $$T=\frac{\hat{p}_2-\hat{p}_1}{\sqrt{\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}+\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}}}.$$
Der 2-Stichproben Binomialtest verwirft \(H_0\) zugunsten von \(H_1\) auf dem Niveau \(\alpha\), wenn \(|T|>z_{1-\alpha/2}\). Analog wird \(H_0:p_1\ge p_2\) zugunsten von \(H_1:p_1<p_2\) verworfen, wenn \(T>z_{1-\alpha}\), und \(H_0:p_1\le p_2\) zugunsten von \(H_1:p_1>p_2\), wenn \(T<z_{\alpha}\).