Meilenstein M1

Lern- und Testfragen Block A

Geben Sie drei Beispiele von Phänomenen an, bei denen der Zufall im Spiel ist. An welcher Stelle kommt der Zufall ins Spiel? Geben Sie die formale Beschreibung an.
Was versteht man formal unter einem Zufallsexperiment?
Geben Sie ein Beispiel an für ein Zufallsexperiment, bei dem unendlich viele Ausgänge vorkommen. (Geben Sie $ \Omega $ und $ P $ explizit an!)
Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen Laplace-Experimenten und der diskreten Gleichverteilung.
Erläutern Sie die Begriffe Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsmaß.
Welche Möglichkeiten kennen Sie, die Wahrscheinlichkeit $ P(A|B) $ aus anderen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen?
Formulieren Sie den Satz von Bayes und illustrieren Sie ihn an einem Beispiel!
$ X $ sei eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten $ 1,2,3 $ und $ Y $ eine Zufallsvariable mit Werten in $ \{ A, B, C \} $ für drei verschiedene Zahlen $ A, B, C $. $ X $ sei diskret gleichverteilt und für $ Y $ gelte: $$ P(Y=A) = 0.1, P(Y=B) = 0.5, P(Y=C) = 0.4 $$
Stellen Sie die zugehörige Tafel der gemeinsamen Verteilung auf, wenn $ X $ und $ Y $ unabhängig sind. Geben Sie für alle $ x \in \{ 1,2,3 \} $ und $ y \in \{ A, B, C \} $ die bedingten Wahrscheinlichkeiten $ P(X = x | Y = y ) $ an.
Wie viele Pumpen muss man in Beispiel 2.4.2 nehmen, damit $ P(B) < 10^{-5} $ gilt, wenn $ p = 0.1 $ ist. Für ein Rohr aus $ n = 10 $ Rohrstücken und $ q = 0.01 $ ist das Rohr mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 0.0956 $ undicht. In diesem Fall gehe alles Kühlwasser verloren. Wieviele solcher Rohre muss man parallel verlegen, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass alle Rohre undicht sind und also die Kühlung ausfällt, kleiner als $ 0.0001 $ ist?
Welche Formel bzw. Rechenregel steckt hinter der "Pfadregel" für mehrstufige Zufallsexperimente?

Lern- und Testfragen Block B

Was versteht man unter einer Zufallsvariablen bzw. einem Zufallsvektor? Diskutieren Sie zwei Beispiele.
Was ist in diesem Zusammenhang der Unterschied zwischen $ x $ und $ X $? Erläutern Sie dies auch an einem konkreten Beispiel.
Wie ist die Verteilung einer Zufallsvariablen definiert? Welche Möglichkeiten kennen Sie, die Verteilung einer Zufallsvariablen anzugeben? Geben Sie die entsprechenden allgemeinen Formeln an!

Betrachte die folgende Tabelle:

			X
		1	2	3
	10	0.1	0.2	0.7
Y	20	0.4	0.1
	30	0.5
$ \sum $

Sind $ X $ und $ Y $ stochastisch unabhängig? Gehen Sie von den von Ihnen berechneten Randverteilungen aus und geben Sie die Tafel an unter der Annahme, dass $ X $ und $ Y $ unabhängig sind.

$ P(X = 2), P(Y = 20), P( X= 2, Y = 30 ) $
$ P( X \in \{ 1,2 \}, Y = 1 ), P( X \in \{1,2\}, Y \not\in \{ 3 \} ) $
$ P(X = 2 | Y = 20), P( X \in \{ 1, 2 \} | Y = 20 ), P( X = 1 | Y \in \{ 20,30 \} ) $

Erläutern Sie an einer Skizze das Konzept der Dichtefunktion. Was versteht man unter einer Dichtefunktion $ f(x) $ und wie berechnet man mithilfe von $ f(x) $ Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte und Varianzen für die Situation $ X \sim f(x) $?
Vervollständigen Sie: Eine o Dichtefunktion o Verteilungsfunktion ist stets durch ___ nach oben beschränkt und nichtnegativ.
Vervollständigen Sie: Ist $ X $ eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in $ x_1, x_2, \dots $, dann heißt die Funktion $$ ? = ?, \qquad x \in \{ x_1, x_2, \dots \} $$ Zähldichte. Die Zähldichte einer Zufallsvariablen ist durch Punktepaare $ (x_1,p_1), (x_2,p_2), \dots $ gegeben, wobei die $ x_i $ die ____________ sind und die $ p_i $ die ___________. Sie wird durch o senkrechte Stäbe der Höhen $ x_1, x_2, \dots $ o senkrechte Stäbe der Höhen $ p_1, p_2, \dots $ o einen Streckenzug durch die Punkte $ (x_1,p_1), (x_2, p_2), \dots $ graphisch dargestellt.
Erläutern Sie die folgenden Notationen
$$ P( a < X \le b, c < Y \le d ), P( X \le a ), P_X( (-\infty, a] ), P_X( (-\infty, a) ), F_X(a) $$
Welche Ausdrücke bezeichnen dieselbe Wahrscheinlichkeit?
Erläutern Sie an einer Skizze den Begriff der Quantilfunktion. Vervollständigen Sie: Das 90%-Quantil einer Einkommensverteilung gibt an, wieviel die _____ Reichsten o mindestens o höchstens verdienen.
Berechnen Sie die Quantilfunktion zur Verteilungsfunktion $$ F(x) = (1 - e^{-4x}) 1_{[0,\infty)}(x), x \in \mathbb{R}.$$
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion zu der in Beispiel 2.5.4 angegebenen Zufallsvariablen.
Was versteht man unter einen stetigen Zufallsvariablen?
Das Paar $ (X, Y) $ folge der Verteilung
$$ P( Y = n, X = k ) = \frac{1}{8} \left( \frac{3}{4} \right)^{n-1} \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} $$
für $ n, k \in \mathbb{N} $.
Berechnen Sie die Randverteilungen. Sind $ X $ und $ Y $ unabhängig?
$X_1, X_2, X_3 $ seien unabhängige Zufallsvariablen, die Ber($p$)-verteilt sind. Berechnen bzw. vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:

$ E(X_1), E(X_1^2), E(X_1^3) $
$ E( 1 + 4 X_1 ), E( 10 + 3 X_2 + 4 X_2^2 ) $
$ E( X_1 X_2 ), E( X_1 X_1^3 ), E( X_1^2 X_2^3 ) $
$ E( (1+ 4X_1) X_2 ), Var( X_1 ), Var( 2 X_1 + 4 X_2), Var( X_1 X_2 ) $

Die Zufallsvariable $ X $ sei nach der Dichtefunktion $$ f(x) = 10 e^{-10x} 1_{[0,\infty)}(x), \qquad x \in \mathbb{R}, $$ verteilt. Berechnen Sie $ E(X) $ und $ E(X^2) $ sowie $ Var(X) $.
Die Zufallsvariable $ X $ sei auf dem Intervall $ [4,6] $ gleichverteilt. Berechnen Sie $ E(X), Var(X) $ und geben Sie Verteilungsfunktion und DIchte an.
$ X $ und $ Y $ seinen unabhängig und identisch verteilt mit $$ P(X=k) = 0.3 \cdot 0.7^k, \quad k = 0, 1, 2, \cdots $$
a) Geben Sie die Zähldichte von $ Y $ an.
b) Berechnen Sie die Verteilung von $ Z = X + Y $.

Lern- und Testfragen Block C

Ein Unternehmen hat 100 Verträge mit Kunden geschlossen, die unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von $ p = 0.02 $ vorzeitig gekündigt werden.
1. Wie ist die Anzahl der gekündigten Verträge verteilt? Wieviele gekündigte Verträge hat das Unternehmen zu erwarten?
2. Welche Formel muss das Unternehmen verwenden, um die Wahrscheinlichkeiten $ P( Y > 10 ) $ (exakt) zu berechnen?
Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen der Binomialverteilung und Bernoulli-Experimenten.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 5 Aufgaben auf 8 Mitarbeiter/innen so zu verteilen, dass jede/r höchstens eine Aufgabe zu bearbeiten hat?
Die Türen bei der Fließbandfertigung eines PKW werden unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit 0.96 richtig eingesetzt. Eine falsch eingesetzte Tür wird bei der Endkontrolle mit einer Wahrscheinlichkeit von $ 0.75 $ erkannt. $ T $ sei die (laufende) Nummer des ersten PKWs, den die Endkontrolle aussondert.
1. Wie ist $ T $ verteilt?
2. Geben Sie $ E(T) $ und $ Var(T) $ an.
Die Produktion eines Produkts P führt zu hohen Ausschüssen: Nur 60 von 100 produzierten Stück können im Mittel verkauft werden. Das Top-Management ist daher an derjenigen Produktionsmenge $X$ interessiert, die produziert werden muss, um 1000 Stück verkaufen zu können. Wie ist $X$ verteilt?
Eine Airline setzt auf der Strecke 1 einen Flieger mit 250 Sitzplätzen ein und auf der Strecke 2 einen mit 350 Sitzplätzen. Auf beiden Strecken erscheinen im Schnitt 2 von 100 Fluggästen nicht zum Abflug. Es werden nahezu ausschließlich Geschäftsleute transportiert, so dass die Fluggäste unabhängig voneinander erscheinen oder nicht erscheinen.
a) Geben Sie ein geeignetes Verteilungsmodell für Anzahl der Fluggäste, die nicht erscheinen, an.
b) Berechnen Sie für beide Flugstrecken die Überbuchungswahrscheinlichkeit.