Wahrscheinlichkeitsrechnung

Regeln für Ereignisse:

1.  \( A \cap ( B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
2.  \( A \cup ( B \cap C ) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
3.  \( \overline{( A \cup B )} = \overline{A\ } \cap \overline{B\ } \)
4. \( \overline{( A \cap B )} = \overline{A\ } \cup \overline{B\ } \)

Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten:

1. \( P(A) = 1 - P( \overline{A} ) \)
2. \( P( A \cup B ) = P(A) + P(B) - P( A \cap B ) \)
3. \( P(A \cap B) = P(A) P(B) \), wenn \( A \) und  \( B \) unabhängig sind.
4. \( P(A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) \), wenn \( A \) und \( B \) unabhängig sind.
5. \( P( A_1 \cup A_2 \cup \cdots ) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots \), wenn \( A_1, A_2, \dots \) paarweise disjunkt sind.
6. \( P(B \backslash A) = P(B) - P(A) \), wenn \( A \subset B \).
7. \( P(A \cap B ) = P(A) + P(B) - P( A \cup B ) \).
8. \( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \) für einen Laplace-Raum \( ( \Omega, P) \).
9. \( P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B ) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) \)
10. $$ P(A_1 \cup \cdots \cup A_n ) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{i < j} P(A_i \cap A_j ) + \sum_{i < j < k} P(A_i \cap A_j \cap A_k ) -+ \cdots + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap \cdots \cap A_n ) $$.

Regeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten

1. \( P(A \ |  B ) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), wenn \( P(B) > 0 \).
2. \( P(B \ |  A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \), wenn \( P(A) > 0 \).
3. \( P(A \cap B) = P(A \ | B) P(B) \), wenn \( P(B) > 0 \).
4. \( P(A \cap B \cap C) = P(C \ | A \cap B) P(B \ |  A) P(A) \), wenn \( P(A \cap B \cap C) > 0 \).
5. \( P(B) = \sum_{i=1}^K P(B \ | A_i ) P( A_i ) \). (Totale Wahrscheinlichkeit)
6. \( P(A_i \ | B) = \frac{ P(A\ | A_i) }{ P(B) } = \frac{ P(B \ | A_i) P(A_i) }{ \sum_{k=1}^K P(B \ | A_k) P(A_k) } \). (Bayes-Formel)

Zufallsvariablen:

• \( X: \Omega \to \mathcal{X} \), \( \omega \mapsto X( \omega ) \). Zufallsvariable
• \( X \) diskrete Zufallsvariable, wenn \( \mathcal{X} \) diskrete Menge, d.h. \( \mathcal{X} = \{ x_1, x_2, \cdots \} \).
• Verteilung einer Zufallsvariablen \( X \): $$ P_X(A) = P(X \in A), $$ für Ereignisse \(A\).

Regeln

1. \( P_X( \{ x \} ) = P( X = x ) \)
2. \( P_X( (a,b] ) = P( a < X \le b ) \)
3. \( P(X = x) = P_X( \{ x \} ) = P(X \le x ) - P( X < x ) \)

Verteilungsfunktion

• \( F_X(x) := P( X \le x ) \), für \( x \in \mathbb{R} \)
• \( F(-\infty) = 0, F( \infty ) = 1 \)
• \( F \) ist monoton wachsend
• \( F(x-) = \lim_{z \uparrow x} F(z) \)
• \( P( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-) \)

Quantilfunktion

• \( F^{-1} : (0,1) \to \mathbb{R} \), \( F^{-1}(p) := \inf \{ x \in \mathbb{R} : F(x) \ge p \} \), \( p \in (0,1) \)
• \(F^{-1}(p) \) ist die Umkehrfunktion von \( F(x) \), wenn \( F(x) \) stetig und streng monoton wachsend ist.

Diskrete Zufallsvariablen

• Zähldichte: \( p_X(x) = P( X = x ) \), für \( x \in \mathbb{R} \)
• \( \mathcal{X} = \{ x_1, x_2, \dots \} \), dann setzt man \( p_i = P(X = x_i ) \), \(i = 1, 2, \dots \)
• \( P(X \in A ) = \sum_{x \in A} P(X=x) = \sum_{x \in A} p(x) \), wenn \( p \) Zähldichte von \(X\)

Stetige Zufallsvariablen

• \( X \) stetige Zufallsvariable, wenn \( X \) eine Dichte (-funktion) \( f(x) \) hat, d.h. $$ P(a < X \le b ) = \int_a^b f(x) \, dx $$ gilt für alle \( a \le b \). Notation: \( X \sim f(x) \)
• \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) heisst Dichtefunktion, wenn  \( f(x) \ge 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) und \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \).

Regeln:

1. \( F_X(x) = P(X \le x) \), \( x \in \mathbb{R} \)
2. Ist \( F_X \) differenzierbar, dann gilt: \( f_X(x) = F_X'(x) \), \( x \in \mathbb{R} \)
3. \( y = g(x) \) stetig differenzierbar, \( g : (a,b) \to (c,d) \) mit Umkehrfunktion \( x = g^{-1}(y) \), so dass \( (g^{-1})'(y) \not= 0 \). \( f_X(x) \) Dichte von \( X \), dann hat \( Y = g(X) \) die Dichte $$ f_Y(y) = f_X( g^{-1}(y)) \left| \frac{ d g^{-1}(y) }{ dy } \right|, $$ für \( y \in (c, d) \).