39 - 1-Stichproben-Tests

Seien $X_1,\ldots,X_n$ unabhängig und normalverteilt.

Einseitiger Gaußtest

Sei $$T=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma}$$ und $z_{1-\alpha}$ das $(1-\alpha)$-Quantil der Standardnormalverteilung. Der einseitige Gaußtest verwirft die Nullhypothese $H_0:\mu\leq\mu_0$ auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ zugunsten von $H_1:\mu>\mu_0$, wenn $T>z_{1-\alpha}$.

Der einseitige Gaußtest verwirft $H_0: \mu\ge\mu_0$ auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ zugunsten von $H_1: \mu < \mu_0$, wenn $T<z_{\alpha}$.

Gütefunktion

Die Gütefunktion des einseitigen Gaußtests ist gegeben durch $$G(\mu)=\Phi\left(-z_{1-\alpha}+\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right).$$

Die Gütefunktion ist differenzierbar in $\mu$, monoton wachsend im Stichprobenumfang $n$, monoton wachsend in $\mu-\mu_0$ sowie monoton fallend in $\sigma^2$.

Fallzahlplanung

Sei $d_0$ die Mindestabweichung der Lageänderung $d=\mu-\mu_0$, die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $1-\beta$ aufgedeckt werden soll. Dann muss gelten: $$n\ge\frac{\sigma^2}{|\mu-\mu_0|^2}(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta})^2.$$

Zweiseitiger Gaußtest

Der zweiseitige Gaußtest verwirft die Nullhypothese $H_0: \mu=\mu_0$ zugunsten der Alternative $H_1: \mu\neq\mu_0$ (Abweichung vom Sollwert $\mu_0$), wenn $|T|>z_{1-\alpha/2}$.

Gütefunktion

Die Gütefunktion des zweiseitigen Gaußtests ist gegeben durch $$G(\mu)=2\Phi\left(-z_{1-\alpha/2}+\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right).$$

Die Gütefunktion ist differenzierbar in $\mu$, monoton wachsend im Stichprobenumfang $n$, monoton wachsend in $|\mu-\mu_0|$ sowie monoton fallend in $\sigma^2$.

Fallzahlplanung

Sei $\Delta$ die Mindestabweichung von $|\mu-\mu_0|$, die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $1-\beta$ aufgedeckt werden soll. Dann muss gelten: $$n\ge\frac{\sigma^2}{|\mu-\mu_0|^2}(z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta})^2.$$

Der $t$-Test

Der zweiseitige $t$-Test verwirft $H_0: \mu=\mu_0$ zugunsten von $H_1: \mu\neq\mu_0$ auf dem Signifikanzniveau $\alpha$, wenn $|T|>t(n-1)_{1-\alpha/2}$. Der einseitige $t$-Test für das Testproblem $H_0: \mu\leq\mu_0$ gegen $H_1: \mu>\mu_0$ verwirft $H_0$, wenn $T>t(n-1)_{1-\alpha}$. Die Nullhypothese $H_0:\mu\ge\mu_0$ wird zugunsten von $H_1: \mu<\mu_0$ verworfen, wenn $T<-t(n-1)_{1-\alpha}$.

$p$-Wert

Sei $t_{\text{obs}}=T(x_1,\ldots,x_n)$ der realisierte Wert der Teststatistik $T$ und $T^{\ast}$ die Teststatistik bei Wiederholung des Experiments. Dann ist der $p$-Wert für das Testproblem $$H_0: \mu\le\mu_0 \quad \text{gegen} \quad H_1: \mu>\mu_0$$ definiert durch $$p=P_{H_0}(T^{\ast}>t_{\text{obs}})$$ .

Binomialtest

Sei $Y\sim\text{Bin}(n,p)$. Der exakte Binomialtest verwirft $H_0: p\le p_0$ zugunsten von $H_1: p> p_0$, wenn $Y>c_{\text{krit}}$, wobei $c_{\text{krit}}$ die kleinste ganze Zahl ist, sodass $$\sum_{k=c_{\text{krit}}+1}^n\binom{n}{k}p_0^k(1-p_0)^{n-k}\le\alpha.$$

Asymptotischer Binomialtest

Der asymptotische Binomialtest verwirft $H_0: p\le p_0$ auf dem Niveau $\alpha$ zugunsten von $H_1: p> p_0$, wenn $$T=\frac{Y-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}>z_{1-\alpha}.$$

Äquivalent dazu ist $Y>np_0+z_{1-\alpha}\sqrt{np_0(1-p_0)}$.