38 - Einführung in die statistische Testtheorie

Testproblem

Seien $f_0$ und $f_1$ zwei mögliche Verteilungen für eine Zufallsvariable $X$, dann wird das Testproblem, zwischen $X\sim f_0$ und $X\sim f_1$ zu entscheiden, in der Form $$H_0: f=f_0 \quad \text{gegen}\quad H_1:f=f_1$$ notiert, wobei $f$ die wahre Verteilung von $X$ bezeichne. $H_0$ heißt Nullhypothese und $H_1$ Alternative.

Meist kann das Datenmaterial $X_1,\ldots,X_n$ durch eine Zahl $T=T(X_1,\ldots,X_n)$, Statistik genannt, verdichtet werden.

Statistischer Test

Ein (statistischer) Test ist eine Entscheidungsregel, die basierend auf $T$ entweder zugunsten von $H_0$ (Notation: "$H_0$") oder zugunsten von $H_1$ ("$H_1$") entscheidet.

Kritischer Wert

$H_0$ wird angenommen, wenn $T\in(-\infty,c_{\text{krit}}]$ und abgelehnt, wenn $T\in(c_{\text{krit}},\infty)$. $A=(-\infty,c_{\text{krit}}]$ heißt Annahmebereich, $A^c=(c_{\text{krit}},\infty)$ heißt Ablehnbereich oder Verwerfungsbereich und $c_{\text{krit}}$ kritischer Wert.

Fehler 1. und 2. Art

Eine Enscheidung für $H_1$, obwohl $H_0$ richtig ist, heißt Fehler 1. Art. Eine Entscheidung für $H_0$, obwohl $H_1$ richtig ist, heißt Fehler 2. Art.

Die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art ist die unter $H_0$ berechnete Wahrscheinlichkeit, fälschlicherweise $H_0$ abzulehnen und heißt Signifikanzniveau. Die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art ist die unter $H_1$ berechnete Wahrscheinlichkeit, fälschlicherweise $H_0$ zu akzeptieren.

Test zum Niveau $\alpha$

Ein statistischer Test zum Signifikanzniveau $\alpha$ ist gegeben, wenn $$P_{H_0}("H_1") \le \alpha.$$

Schärfe

Sei $\beta$ die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, dann heißt $$1-\beta=P_{H_1}("H_1")=E_{H_1}(1-\phi)$$ Schärfe oder Power des Testverfahrens. Die Funktion $$G(\vartheta)=P_{\vartheta}("H_1")=E_{\vartheta}(1-\phi), \quad \vartheta \in\Theta,$$ heißt Gütefunktion des Tests.