37 - Konfidenzintervalle

Ein Intervall \([L,U]\) mit datenabhängigen Intervallgrenzen \(L=L(X_1,\ldots,X_n)\) und \(U=U(X_1,\ldots,X_n)\) heißt Konfidenzintervall oder Vertrauensbereich zum Konfidenzniveau \(1-\alpha\), wenn $$P(\vartheta\in[L,U])\geq1-\alpha.$$

Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer Normalverteilung

Sind \(X_1,\ldots,X_n\stackrel{i.i.d.}{\sim}N(\mu,\sigma^2)\), dann ist $$\left[\bar{X}-t(n-1)_{1-\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t(n-1)_{1-\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}\right]$$ ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau \(1-\alpha\) für den Erwartungswert \(\mu\), wobei \(T=\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)/S\) eine \(t(n-1)\)-verteilte Statistik ist.

Wenn \(\sigma\) bekannt ist, muss \(S\) durch \(\sigma\) und das \(t(n-1)_{1-\alpha/2}\)-Quantil durch das Normalverteilungsquantil \(z_{1-\alpha/2}\) ersetzt werden.

Konfidenzintervall für die Varianz einer Normalverteilung

Sind \(X_1,\ldots,X_n\stackrel{i.i.d.}{\sim}N(\mu,\sigma^2)\), dann ist $$\left[\frac{n-1}{\chi^2(n-1)_{1-\alpha/2}}\hat{\sigma}^2,\frac{n-1}{\chi^2(n-1)_{\alpha/2}}\hat{\sigma}^2\right]$$ ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau \(1-\alpha\) für die Varianz \(\sigma^2\), wobei \(\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\).

Konfidenzintervall für die Erfolgswahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung

Sei \(Y\sim\text{Bin}(n,p)\), dann ist $$\left[\hat{p}-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]$$ ein (approximatives) \((1-\alpha)\)-Konfidenzintervall für \(p\), wobei \(\hat{p}\) eine Schätzung für \(p\) ist.

Konfidenzintervall für den Parameter \(\lambda\) einer Poisson-Verteilung

Sind \(X_1,\ldots,X_n\stackrel{i.i.d.}{\sim}\text{Poi}(\lambda)\), dann ist $$\left[\bar{X}-\sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}z_{1-\alpha/2},\bar{X}+\sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}z_{1-\alpha/2}\right]$$ ein (approximatives) \((1-\alpha)\)-Konfidenzintervall.