36 - Testverteilungen

t-Verteilung

Sind \(X_1,\ldots,X_n\) unabhängig und identisch \(N(\mu,\sigma^2)\)-verteilt, \(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\) das arithmetische Mittel und \(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\), dann heißt die Verteilung von $$T=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{S}$$ \(t\)-Verteilung mit \(n-1\) Freiheitsgraden und wird mit \(t(n-1)\) bezeichnet.

Das \(p\)-Quantil wird mit \(t(n-1)_p\) notiert. Für \(T\sim t(k)\) gilt \(E(T)=0\) und für \(k\geq3\) \(\text{Var}(T)=\frac{k}{k-2}\).

\(\chi^2\)-Verteilung

Sind \(U_1,\ldots,U_k\) unabhängig und identisch \(N(0,1)\)-verteilt, dann heißt die Verteilung der Statistik $$Q=\sum_{i=1}^nU_i^2$$ \(\chi^2\)-Verteilung mit \(k\) Freiheitsgraden. Ist \(T\) eine Zufallsvariable und \(c\in\mathbb{R}\), so dass \(T/c \sim \chi^2(k)\), dann heißt \(T\) gestreckt \(\chi^2\)-verteilt mit \(k\) Freiheitsgraden.

Es gilt \(E(Q)=k\) und \(\text{Var}(Q)=2k\).

F-Verteilung

Sind \(Q_1 \sim \chi^2(n_1)\) und \(Q_2 \sim \chi^2(n_2)\) unabhängig \(\chi^2\)-verteilt, dann heißt die Verteilung der Statistik $$F=\frac{Q_1/n_1}{Q_2/n_2}$$ \(F\)-Verteilung mit \(n_1\) und \(n_2\) Freiheitsgraden und wird mit \(F(n_1,n_2)\) bezeichnet.

Das \(p\)-Quantil wird mit \(F(n_1,n_2)_p\) bezeichnet.

Es gilt \(E(F)=\frac{n_2}{n_2-2}\) und \(\text{Var}(F)=\frac{2n_2^2(n_1+n_2-2)}{n_1(n_2-1)^2(n_2-4)}\).