35 - Gütekriterien für statistische Schätzer

Erwartungstreue

Ein Schätzer $\hat{\theta}_n$ für einen Parameter $\theta$ heißt erwartungstreu, unverfälscht oder unverzerrt, wenn $$E_{\theta}(\hat{\theta}_n), \quad \text{für alle } \theta\in\Theta.$$ Der Schätzer heißt asymptotisch erwartungstreu, wenn $$E_{\theta}(\hat{\theta}_n) \rightarrow \theta, \quad \text{für alle } \theta\in\Theta.$$

Verzerrung

Die Verzerrung (engl.: Bias) wird durch $$\text{Bias}(\hat{\theta}_n;\theta)=E_{\theta}(\hat{\theta})-\theta, \quad \theta\in\Theta,$$ gemessen. Im Allgemeinen ist $\text{Bias}(\hat{\theta}_n;\theta)$ eine Funktion von $\theta$.

Konsistenz

Ein Schätzer $\hat{\theta}_n=T(X_1,\ldots,X_n)$ basierend auf einer Stichprobe vom Umfang $n$ heißt (schwach) konsistent für $\theta$, wenn er ein schwaches Gesetz großer Zahlen erfüllt, d.h. $$\hat{\theta}_n \stackrel{P}{\rightarrow}\theta, \quad n\rightarrow\infty.$$ $\hat{\theta}_n$ heißt stark konsistent für \theta, wenn fast sichere Konvergenz gilt.

Effizienz

Sind $T_1$ und $T_2$ zwei erwartungstreue Schätzer für $\theta$ mit $\text{Var}(T_1) < \text{Var}(T_2),$ dann heißt $T_1$ effizienter als $T_2$. Ist $T_1$ effizienter als jeder andere erwartungstreue Schätzer, dann heißt $T_1$ effizient.

Mittlerer quadratischer Fehler

Der mittlere quadratische Fehler (engl.: mean square error, MSE) misst die erwartete quadratische Abweichung eines Schätzers $\hat{\theta}_n$ vom wahren Parameter $\theta$: $$\text{MSE}(\hat{\theta}_n;\theta)=E_{\theta}(\hat{\theta}_n-\theta)^2.$$

Ist $\hat{\theta}$ ein Schätzer mit $\text{Var}_{\theta}(\hat{\theta}) <\infty$, danngilt $$\text{MSE}(\hat{\theta}_n;\theta)=\text{Var}_{\theta}(\hat{\theta})+[\text{Bias}(\hat{\theta}_n;\theta)]^2.$$