32 - Erzeugende Funktionen

Erzeugende Funktion

Sei $X$ eine Zufallsvariable mit diskreter Wahrscheinlichkeitsfunktion $p(k)=P(X=k)$, $k\in\mathbb{N}_0$. Dann heißt $$g_X(t)=Et^X=\sum_{k=0}^{\infty}\, p_X(k)t^k$$ erzeugende Funktion von $X$. Für $|t|\leq1$ konvergiert $g_X(t)$ sicher.

Eigenschaften

Die Verteilung einer Zufallsvariablen wird durch die erzeugende Funktion eindeutig charakterisiert.
Es gilt $g_X(0)=P(X=0)$ und $g_X(1)=1$.
Es gilt $$g_X^{(k)}(0)=k!p_X(k) \quad \text{ und somit } \quad p_X(k)=\frac{g_X^{(k)}}{k!}.$$
Es gilt $g_X^{(k)}(1)=E(X(X-1)\cdot\ldots\cdot(X-k+1))$.

Sind $X_1,X_2,\ldots$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit erzeugender Funktion $g_X(t)$ und $N$ eine von $X_1,X_2,\ldots$ unabhängige Zufallsvariable mit erzeugender Funktion $g_N(t)$, dann hat $S_N=X_1+\ldots+X_N$ die erzeugende Funktion $g_{S_N}(t)=g_N(g_X(t))$.

Faltungseigenschaft

Seien $X$ und $Y$ zwei unabhängige Zufallsvariablen mit erzeugenden Funktionen $g_X(t)$ und $g_Y(t)$, dann ist die erzeugende Funktion von $X+Y$ gegeben durch $g_{X+Y}(t)=g_X(t)g_Y(t)$.

Momenterzeugende Funktion

Sei $X$ eine Zufallsvariable, dann heißt $$m_X(t)=E(e^{tX})$$ für alle $t\geq0$, für die der Ausdurck (in $\mathbb{R}$) existiert, momenterzeugende Funktion. Wenn $X$ stetig verteilt mit Dichte $f(x)$ ist, dann heißt $$L_f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$$ Laplace-Transformierte.

$L_f$ ist in dieser Form nicht nur für Dichtefunktionen definiert.

$m_X(t)$ ist stets für $t=0$ definiert. Wenn $m_X(t)$ für ein $t>0$ existiert, dann auch für alle Werte im Intervall $(-t,t)$.