27 - Stetige Verteilungsmodelle

Stetige Gleichverteilung

Eine Zufallsvariable $X$ mit Dichtefunktion $$f(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{1}{b-a}, \quad x \in [a,b]\\ 0, \qquad\qquad x\notin[a,b]\end{aligned}\right.$$ heißt (stetig) gleichverteilt auf dem Intervall $[a,b]$. Notation: $X\sim U[a,b]$.

Erwartungswert: $E(X)=\frac{b+a}{2}$,
Varianz: $\text{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$,
Verteilungsfunktion: $$F(X)=\left\{\begin{aligned}0, \qquad\qquad\qquad\ x <a \\ \frac{x-a}{b-a}, \quad x\in[a,b]\\ 1, \qquad\qquad\qquad\ x > b\end{aligned}\right..$$

Exponentialverteilung

Eine Zufallsvariable $Y$ mit Dichtefunktion $$f(y)=\lambda e^{-\lambda y}, \quad y>0,$$ heißt exponentialverteilt mit Parameter $\lambda$. Notation: $Y\sim\text{Exp}(\lambda)$.

Erwartungswert: $E(Y)=\frac{1}{\lambda}$,
Varianz: $\,$$\text{Var}(Y)=\frac{1}{\lambda^2}$,
Verteilungsfunktion: $F(y)=1-e^{-\lambda y}, \quad y>0$.

Normalverteilung

Ist eine Zufallsvariable normalverteilt mit Parametern $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma^2\in(0,\infty)$, dann ist die Dichte gegeben durch $$\varphi_{(\mu,\sigma^2)}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x\in\mathbb{R}.$$ Notation: $X\sim N(\mu,\sigma^2)$. Die Standardnormalverteilung erhält man mit $\mu=0$ und $\sigma^2=1$, man schreibt die Dichte dann meist verkürzt als $\varphi(x)$.

Erwartungswert: $E(X)=\mu$,
Varianz: $\,$$\text{Var}(X)=\sigma^2$.

Für die Verteilungsfunktion $$\Phi_{(\mu,\sigma^2)}(x)=\int_{-\infty}^x\varphi_{(\mu,\sigma^2)}(t)dt, \quad x \in \mathbb{R},$$ und die $p$-Qantile $z_p=\Phi_{(\mu,\sigma^2)}^{-1}(p), p\in(0,1),$ der Normalverteilung gibt es keine explizite Formel.

Eigenschaften

$\varphi(x)$ und $\Phi(x)$ seien die Dichte und die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Dann gilt:

$$\Phi_{(\mu,\sigma^2)}(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right), \quad x\in\mathbb{R},$$ und $$\varphi_{(\mu,\sigma^2)}(x)=\frac{1}{\sigma}\varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),$$ sowie $$\Phi_{(\mu,\sigma^2)}^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p), \quad p\in(0,1).$$
Sind $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ unabhängig, dann gilt für $a,b\in\mathbb{R}$ $$aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$$.
Ist $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, dann ist $$X^{\ast}=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).$$
Sind $X_1,\ldots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)$ unabhängig, dann gilt $$\bar{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n) \quad \text{und} \quad \bar{X}^{\ast}=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).$$
Ist $X^{\ast}\sim N(0,1)$, dann gilt $\mu+\sigma X^{\ast}\sim N(\mu,\sigma^2)$, wenn $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma>0$.

Betaverteilung

Eine Zufallsvariable $X$ ist betaverteilt, wenn sie die Dichte $$f_{(p,q)}=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{B(p,q)}, \quad x\in[0,1],$$ besitzt, wobei $$B(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}, \quad p,q\in[0,1],$$ die Betafunktion ist. Notation: $X\sim \text{Beta}(p,q)$.

Erwartungswert: $E(X)=\frac{p}{p+q}$,
Varianz: $\,$$\text{Var}(X)=\frac{pq}{(p+q+1)(p+q)^2}$.

Gammaverteilung

Eine Zufallsvariable $X$ mit Dichte $$f(x)=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-\lambda x}, \quad x>0,$$ heißt gammaverteilt mit Parametern $a>0$ und $\lambda>0$. Hierbei ist $\Gamma(x)$ die Gammafunktion. Notation: $X\sim\Gamma(a,\lambda)$.

Erwartungswert: $E(X)=\frac{a}{\lambda}$,
Varianz: $\,$$\text{Var}(X)=\frac{a}{\lambda^2}$.