26 - Diskrete Verteilungsmodelle

Bernoulli-Verteilung

Ist $$X=\mathbb{1}_A=\left\{\begin{aligned}1, A \text{ tritt ein}\quad\quad\quad\ \ \,\\0, A \text{ tritt nicht ein.}\end{aligned}\right.$$ und $p=P(X=1)$ bzw. $q=1-p=P(X=0)$, dann heißt $X$ Bernoulli-verteilt mit Parameter $p\in[0,1]$. Notation: $X\sim\text{Ber}(p)$.

Erwartungswert: $E(X)=p$,
Varianz: $\text{Var}(X)=p(1-p)$,
Zähldichte: $\,$$p(k)=p^k(1-p)^{1-k}, k\in\{0,1\}$.

Binomialverteilung

Für $n\in\mathbb{N}$ und $k\in\{0,\ldots,n\}$ ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus $n$ Objekten $k$ Objekte ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen durch den Binomialkoeffizienten $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\ldots(n-k+1)}{k\cdot(k-1)\ldots2\cdot1}$$ gegeben.

Ist $$P(Y=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, k=0,\ldots,n,$$ dann heißt $Y$ binomialverteilt mit Parametern $n\in\mathbb{N}$ und $p\in[0,1]$. Notation: $Y\sim\text{Bin}(n,p)$.

Erwartungswert: $E(X)=np$,
Varianz: $\text{Var}(X)=np(1-p)$,
Zähldichte: $\,$ $p(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, k\in\{0,1\}$.

Für zwei unabhängige Zufallsvariablen $X\sim\text{Bin}(n_1,p)$ und $Y\sim\text{Bin}(n_2,p)$ gilt $X+Y\sim\text{Bin}(n_1+n_2,p)$.

Hypergeometrische Verteilung

Eine Zufallsvariable $X$ mit Zähldichte $$P(X=r)=p_r=\frac{\binom{R}{r}\binom{B}{b}}{\binom{R+B}{n}}, \quad \max(0,n-B)\leq r\leq\min(R,n), \quad n=r+b,$$ heißt hypergeometrisch verteilt.

Geometrische Verteilung

Eine Zufallsvariable $T$ ist geometrisch verteilt mit Parameter $p\in(0,1]$, wenn $$P(T=n)=p(1-p)^{n-1}, \quad n=1,2,\ldots$$ $W=T-1$ heißt Wartezeit. Notation: $T\sim\text{Geo}(p)$.

Erwartungswert: $E(T)=\frac{1}{p}, \quad E(W)=\frac{1}{p}-1$,
Varianz: $\text{Var}(T)=\text{Var}(W)=\frac{1-p}{p^2}$.

Negative Binomialverteilung

Ist $S_k=T_1+\ldots+T_k$ die Summe von $k$ unabhängig und identisch $\text{Geo}(p)$-verteilten Zufallsvariablen, dann ist $S_k$ negativ binomialverteilt mit $$P(S_k=n)=\binom{n-1}{k-1}p^k(1-p)^{n-k}, \quad n=k,k+1,\ldots$$

Erwartungswert: $E(S_n)=\frac{k}{p}$,
Varianz: $\text{Var}(S_n)=\frac{k(1-p)}{p^2}$.

Poisson-Verteilung

Poisson-Grenzwertsatz

Sind $Y_n\sim\text{Bin}(n,p_n), n=1,2,\ldots$, binomialverteilte Zufallsvariablen mit $np_n\rightarrow\lambda,n\rightarrow\infty,$ dann gilt für festes $k$: $$\lim_{n\rightarrow\infty}P(Y_n=k)=p_{\lambda}(k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.$$

Eine Zufallsvariable $Y$ mit $P(Y=k)=p_{\lambda}(k)$ heißt poissonverteilt mit Parameter $\lambda$. Notation: $Y\sim\text{Poi}(\lambda)$.

Erwartungswert: $E(Y)=\lambda$,
Varainz: $\text{Var}(Y)=\lambda$,
Zähldichte: $\,$$p(k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$.

Rechenregeln

Sind $X\sim\text{Poi}(\lambda_1)$ und $Y\sim\text{Poi}(\lambda_2)$ unabhängig, dann ist $X+Y\sim\text{Poi}(\lambda_1+\lambda_2)$.
Ist $X\sim\text{Poi}(\lambda)$ die Anzahl der Ereignisse in $[0,T]$ und $Y$ die Anzahl der Ereignisse in dem Teilintervall $[0,r\cdot T]$, dann ist $Y\sim\text{Poi}(r\cdot\lambda)$.