17 - Schiefe und Symmetrie

Eine Funktion $f(x)$ heißt symmetrisch mit Symmetriezentrum $m$, wenn für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt: $$f(m+x)=f(m-x).$$

Eine empirische Verteilung ist linksschief, wenn für alle $a > 0$ der Anteil der Beobachtungen mit $x_i>m+a$ größer ist als der Anteil der Beobachtungen mit $x_i<m-a$. Im umgekehrten Fall heißt die empirische Verteilung rechtsschief, bei Gleichheit ist die Verteilung symmetrisch, dann ist $m$ der Median.

Bestimmung der Schiefe

Das dritte standardisierte Moment ist definiert durch $$m_3^{\ast}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^3.$$

$m_3^{\ast}>0:$ Rechtsschiefe.
$m_3^{\ast}<0:$ Linksschiefe.
$m_3^{\ast}=0:$ Symmetrie.