15 - Lagemaße

Median

Der Median wird in der Regel definiert durch $$x_{\text{med}}=\left\{\begin{aligned}& x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & n \text{ ungerade},\\ & \frac{1}{2}\left(x_{n/2}+x_{n/2+1}\right), & n \text{ gerade}.\end{aligned}\right.$$

Eigenschaften

Der Median vollzieht affin-lineare Transformationen nach: $$y_i=a+b\cdot x_i \quad \Rightarrow \quad y_{\text{med}}=a+b\cdot x_{\text{med}}.$$
Der Median minimiert den Ausdruck $$Q(m)=\sum_{i=1}^n\ |x_i-m|.$$
Der Median ist sehr robust gegenüber Ausreißern.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist definiert durch $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ x_i.$$

Eigenschaften

Das arithmetische Mittel vollzieht affin-lineare Transformationen nach: $$y_i=a+b\cdot x_i \quad \Rightarrow \quad \bar{y}=a+b\cdot\bar{x}.$$
Das arithmetische Mittel minimiert den Ausdruck $$Q(m)=\sum_{i=1}^n\ (x_i-m)^2.$$
Das arithmetische Mittel ist sensitiv bzgl. Ausreißern.

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel von $n$ nichtnegativen Zahlen $x_1,\ldots,x_n$ ist definiert durch $$\bar{x}_{\text{geo}}=(x_1\cdot\ldots\cdot x_n)^{(1/n)}.$$

Es gilt: $\bar{x}_{\text{geo}}\leq\bar{x}$.

Wachstumsfaktor und Wachstumsrate

Seien $x_1,\ldots,x_n$ Bestandsgrößen. Dann nennt man $$w_1=1, \quad w_i=x_i/x_{i-1}, \quad i=2,\ldots,n,$$ $i$-ten Wachstumsfaktor und $$r_i=w_i-1 \quad \Leftrightarrow \quad x_i=(1+r_i)x_{i-1}$$ $i$-te Wachstumsrate (Zinssatz).

Der mittlere Wachstumsfaktor wird als derjenige Wachstumsfaktor $w$ definiert, der bei Anwendung in allen $n$ Perioden zum Wert $x_n$ führt. Die mittlere Wachstumsrate (effektiver Zinssatz) ist durch $r=w-1$ gegeben.

Weitere Mittelwerte

Harmonisches Mittel

Seien $x_1,\ldots,x_n$ Zahlen ungleich Null mit $\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\neq0$. Dann ist das harmonische Mittel definiert durch $$\bar{x}_{\text{harm}}=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ \frac{1}{x_i}\right)^{-1}.$$

Getrimmtes Mittel

Sei $k=\left\lfloor na\right\rfloor$, wobei vermutet werde, dass es im Datensatz nicht mehr als $2a\cdot100\%$ Ausreißer gibt. Dann ist das getrimmte Mittel definiert durch $$\bar{x}_a=\frac{x_{(\lfloor k+1\rfloor)}+\ldots+x_{(\lfloor x-k\rfloor)}}{n-2k}.$$

Winorisiertes Mittel

$k$ sei wie beim getrimmten Mittel definiert. Ersetze die $k$ größten und die $k$ kleinsten Beobachtungen durch den jeweils nächstgelegenen der zentralen $n-2k$ Beobachtungen. Der Mittelwert dieses modifizierten Datensatzes heißt winorisiertes Mittel.