12 - Mehrdimensionale Integration

Sei \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) eine (stückweise) stetige Funktion und \((\textbf{a},\textbf{b}] = (a_1,b_1] \times \cdots \times (a_n,b_n], \textbf{a} = (a_1,\ldots,a_n), \textbf{b} = (b_1,\ldots,b_n) \in \mathbb{R}^n\) ein Intervall.

Das \(n\)-dimensionale Integral von \(f(x_1,\dots,x_n)\) über \((\textbf{a},\textbf{b}] \) ist:
$$I = \int_{(\textbf{a},\textbf{b}]}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n$$

Berechnung: Durch sukzessives (schrittweises) Integrieren 'von innen nach außen':
$$I = \int_{a_1}^{b_1}\cdots\left(\int_{a_n}^{b_n}f(x_1,\ldots,x_n)dx_n\right)\cdots dx_1.$$

Eigenschaft: Die Reihenfolge der Integrationen ist vertauschbar.

 $$\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)dy\right)dx = \int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)dx\right)dy.$$