10 - Funktionen mit mehreren Variablen

Eine Zuordnung \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(D \subset \mathbb{R}^n\), die jedem Punkt \(\textbf{x}=(x_1,\ldots,x_n) \in D\) genau einen Wert \(y = f(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}\) zuordnet, wird Funktion von \(x_1,\ldots,x_n\) genannt. \(x_1,\ldots,x_n\) heißen (unabhängige, exogene, Argument-) Variablen aus dem Definitionsbereich \(D\). Die Menge \(W = \{f(\textbf{x}): \textbf{x} \in D\}\) heißt Wertebereich, deren Elemente \(y = f(x_1,\ldots,x_n)\) auch als endogene Variablen bezeichnet werden.

Konvergenz von Punktfolgen

Eine Folge \((\textbf{x}_k)_{k \in \mathbb{N}}\), \(\textbf{x}_k=(x_{k_1},\ldots,x_{k_n})\) konvergiert gegen \(\textbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\), wenn alle \(n\) Koordinatenfolgen gegen die entsprechenden Koordinaten von \(\textbf{x}\) konvergieren, d.h. $$x_{k_1} \rightarrow x_1, \ldots, x_{k_n} \rightarrow x_n, k \rightarrow \infty.$$

Stetigkeit

Eine Funktion \(f(\textbf{x}), \textbf{x} \in D,\) heißt stetig im Punkt \(\textbf{a}\), wenn für alle Folgen \((\textbf{x}_k)_{k}\) mit \(\textbf{x}_k \rightarrow \textbf{a}\) folgt, dass $$f(\textbf{x}_k) \rightarrow f(\textbf{a}), k \rightarrow \infty.$$ \(f\) ist stetig, wenn \(f(\textbf{x})\) in jedem Punkt \(\textbf{a}\) stetig ist.

Wie auch im eindimensionalen Fall sind alle Polynome in \(n\) Variablen stetig, sowie alle Summen, Differenzen, Produkte und Divisionen (ohne Nullstellen der Funktion im Nenner) stetiger Funktionen. Auch die Verkettung \(f(g_1(\textbf{x}),\ldots,g_n(\textbf{x}))\) von stetigen Funktionen \(f, g_1(\textbf{x}),\ldots,g_n(\textbf{x})\) ist stetig.

Partielle Differenzierbarkeit

Für eine Funktion \(f(\textbf{x}) = f(x_1,\ldots,x_n)\) ist die (\(i\)-te) partielle Ableitung nach \(x_i\) im Punkt \(\textbf{x}\) definiert durch $$\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_i} := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\textbf{x} + h\textbf{e}_i) - f(\textbf{x})}{h},$$ wenn der Grenzwert (in \(\mathbb{R}\)) exisiert. \(f\) heißt partiell differenzierbar (im Punkt \(\textbf{x}\)), wenn alle \(n\) partiellen Ableitungen (im Punkt \(\textbf{x}\)) existieren. \(f\) heißt stetig partiell differenzierbar, wenn alle \(n\) partiellen Ableitungen stetig sind.

Der Vektor der \(n\) partiellen Ableitungen $$\text{grad}f(\textbf{x}) = \left(\begin{array}{c}\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_n} \end{array}\right)$$ wird als Gradient von \(f(\textbf{x})\) bezeichnet.

Mehrmaliges Ableiten

Wenn die Funktion \(\frac{\partial f(x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_i}\) partiell differenzierbar nach \(x_j\) ist, dann wird die resultierende partielle Ableitung zweiter Ordnung mit \(\frac{\partial^2 f(x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_jx_i}\) bezeichnet. Analog wird die partielle Abeitung \(k\)-ter Ordnung mit \(\frac{\partial^k f(x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_{i_k}\cdots\partial x_{i_1}}\) notiert, falls sie existiert.

Ist \(f\) zweimal stetig differenzierbar im Punkt \(\textbf{x}\), dann wird die symmtrische \((n \times n)\)-Matrix $$\textbf{H}_f(\textbf{x})=\left(\frac{\partial^2f(\textbf{x})}{\partial x_i \partial x_j}\right)_{i,j}$$ Hesse-Matrix von \(f(\textbf{x})\) an der Stelle \(\textbf{x}\) genannt.

Vertauschbarkeitsregel

Wenn alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung \(\frac{\partial^2f(\textbf{x})}{\partial x_i\partial x_j}\) der Funktion \(f\) existieren und stetig sind, dann gilt $$\frac{\partial^2f(\textbf{x})}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_j}\right) = \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_i}\right) = \frac{\partial^2f(\textbf{x})}{\partial x_j\partial x_i}.$$

Kettenregel

Für differenzierbare Funktionen \(f(x_1,\ldots,x_n),g_1(t),\ldots,g_n(t)\) gilt $$\frac{df(g_1(t),\ldots,g_n(t))}{dt} = (\text{grad}f(g_1(t),\ldots,g_n(t)))'\left(\begin{array}{c}\frac{\partial g_1(t)}{\partial t} \\ \vdots \\ \frac{\partial g_n(t)}{\partial t} \end{array}\right).$$

Lineare und quadratische Approximation

Für eine Funktion \(f(\textbf{x})\) von \(n\) Variablen ist die lineare Approximation im Punkt \(\textbf{x}_0\) gegeben durch $$f(\textbf{x}) \approx f(\textbf{x}_0) + (\text{grad} f(\textbf{x}_0))'(\textbf{x} - \textbf{x}_0).$$

Für eine Funktion \(f(\textbf{x})\) ist eine quadratische Approximation in \(\textbf{x}_0\) gegeben durch $$Q(\textbf{x}) = f(\textbf{x}_0) + (\text{grad} f(\textbf{x}_0))'(\textbf{x} - \textbf{x}_0) + \frac{1}{2}(\textbf{x} - \textbf{x}_0)'\textbf{H}_f(\textbf{x}_0)(\textbf{x} - \textbf{x}_0).$$