10 - Funktionen mit mehreren Variablen

Eine Zuordnung $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ mit $D \subset \mathbb{R}^n$, die jedem Punkt $\textbf{x}=(x_1,\ldots,x_n) \in D$ genau einen Wert $y = f(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}$ zuordnet, wird Funktion von $x_1,\ldots,x_n$ genannt. $x_1,\ldots,x_n$ heißen (unabhängige, exogene, Argument-) Variablen aus dem Definitionsbereich $D$. Die Menge $W = \{f(\textbf{x}): \textbf{x} \in D\}$ heißt Wertebereich , deren Elemente $y = f(x_1,\ldots,x_n)$ auch als endogene Variablen bezeichnet werden.

Konvergenz von Punktfolgen

Eine Folge $(\textbf{x}_k)_{k \in \mathbb{N}}$, $\textbf{x}_k=(x_{k_1},\ldots,x_{k_n})$ konvergiert gegen $\textbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$, wenn alle $n$ Koordinatenfolgen gegen die entsprechenden Koordinaten von $\textbf{x}$ konvergieren, d.h. $$x_{k_1} \rightarrow x_1, \ldots, x_{k_n} \rightarrow x_n, k \rightarrow \infty.$$

Stetigkeit

Eine Funktion $f(\textbf{x}), \textbf{x} \in D,$ heißt stetig im Punkt $\textbf{a}$, wenn für alle Folgen $(\textbf{x}_k)_{k}$ mit $\textbf{x}_k \rightarrow \textbf{a}$ folgt, dass $$f(\textbf{x}_k) \rightarrow f(\textbf{a}), k \rightarrow \infty.$$ $f$ ist stetig, wenn $f(\textbf{x})$ in jedem Punkt $\textbf{a}$ stetig ist.

Wie auch im eindimensionalen Fall sind alle Polynome in $n$ Variablen stetig, sowie alle Summen, Differenzen, Produkte und Divisionen (ohne Nullstellen der Funktion im Nenner) stetiger Funktionen. Auch die Verkettung $f(g_1(\textbf{x}),\ldots,g_n(\textbf{x}))$ von stetigen Funktionen $f, g_1(\textbf{x}),\ldots,g_n(\textbf{x})$ ist stetig.

Partielle Differenzierbarkeit

Für eine Funktion $f(\textbf{x}) = f(x_1,\ldots,x_n)$ ist die ($i$-te) partielle Ableitung nach $x_i$ im Punkt $\textbf{x}$ definiert durch $$\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_i} := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\textbf{x} + h\textbf{e}_i) - f(\textbf{x})}{h},$$ wenn der Grenzwert (in $\mathbb{R}$) exisiert. $f$ heißt partiell differenzierbar (im Punkt $\textbf{x}$), wenn alle $n$ partiellen Ableitungen (im Punkt $\textbf{x}$) existieren. $f$ heißt stetig partiell differenzierbar, wenn alle $n$ partiellen Ableitungen stetig sind.

Der Vektor der $n$ partiellen Ableitungen $$\text{grad}f(\textbf{x}) = \left(\begin{array}{c}\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_n} \end{array}\right)$$ wird als Gradient von $f(\textbf{x})$ bezeichnet.

Mehrmaliges Ableiten

Wenn die Funktion $\frac{\partial f(x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_i}$ partiell differenzierbar nach $x_j$ ist, dann wird die resultierende partielle Ableitung zweiter Ordnung mit $\frac{\partial^2 f(x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_jx_i}$ bezeichnet. Analog wird die partielle Abeitung $k$-ter Ordnung mit $\frac{\partial^k f(x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_{i_k}\cdots\partial x_{i_1}}$ notiert, falls sie existiert.

Ist $f$ zweimal stetig differenzierbar im Punkt $\textbf{x}$, dann wird die symmtrische $(n \times n)$-Matrix $$\textbf{H}_f(\textbf{x})=\left(\frac{\partial^2f(\textbf{x})}{\partial x_i \partial x_j}\right)_{i,j}$$ Hesse-Matrix von $f(\textbf{x})$ an der Stelle $\textbf{x}$ genannt.

Vertauschbarkeitsregel

Wenn alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung $\frac{\partial^2f(\textbf{x})}{\partial x_i\partial x_j}$ der Funktion $f$ existieren und stetig sind, dann gilt $$\frac{\partial^2f(\textbf{x})}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_j}\right) = \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_i}\right) = \frac{\partial^2f(\textbf{x})}{\partial x_j\partial x_i}.$$

Kettenregel

Für differenzierbare Funktionen $f(x_1,\ldots,x_n),g_1(t),\ldots,g_n(t)$ gilt $$\frac{df(g_1(t),\ldots,g_n(t))}{dt} = (\text{grad}f(g_1(t),\ldots,g_n(t)))'\left(\begin{array}{c}\frac{\partial g_1(t)}{\partial t} \\ \vdots \\ \frac{\partial g_n(t)}{\partial t} \end{array}\right).$$

Lineare und quadratische Approximation

Für eine Funktion $f(\textbf{x})$ von $n$ Variablen ist die lineare Approximation im Punkt $\textbf{x}_0$ gegeben durch $$f(\textbf{x}) \approx f(\textbf{x}_0) + (\text{grad} f(\textbf{x}_0))'(\textbf{x} - \textbf{x}_0).$$

Für eine Funktion $f(\textbf{x})$ ist eine quadratische Approximation in $\textbf{x}_0$ gegeben durch $$Q(\textbf{x}) = f(\textbf{x}_0) + (\text{grad} f(\textbf{x}_0))'(\textbf{x} - \textbf{x}_0) + \frac{1}{2}(\textbf{x} - \textbf{x}_0)'\textbf{H}_f(\textbf{x}_0)(\textbf{x} - \textbf{x}_0).$$