06 - Vektoren

Ein Spaltenvektor hat die Form $$\textbf{x} = \left(\begin{array}{c}x_1\\ \vdots\\x_n\end{array}\right), \,\,\, x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R},$$ ein Zeilenvektor ist durch $(x_1,\ldots,x_n)$ gegeben. Ist $\textbf{x}$ ein Spaltenvektor, dann bezeichnet $\textbf{x}'=\textbf{x}^t=(x_1,\ldots,x_n)$ den gleichen Vektor als Zeilenvektor und heißt transponierter Vektor von $\textbf{x}$. Analog ist für einen Zeilenvektor $(x_1,\ldots,x_n)$ der transponierte Vektor durch $(x_1,\ldots,x_n)'$ definiert. Alle (Spalten-) Vektoren $\textbf{x}$ mit $n$ Einträgen bilden den $n$-dimensionalen Vektorraum $\mathbb{R}^n$.

Spezielle Vektoren

$\textbf{0}=\textbf{0}_n=(0,\ldots,0)' \in \mathbb{R}$ heißt Nullvektor.
Der Vektor $e_i$ hat eine 1 im $i$-ten Eintrag und sonst Nullen, und heißt $i$-ter Einheitsvektor; $$e_1 = \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 0 \\ \vdots\\0 \end{array}\right), \,\,\, e_2 = \left(\begin{array}{c}0\\ 1 \\ 0 \\ \vdots\\0 \end{array}\right), \,\,\, \cdots, \,\,\, e_n = \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\1 \end{array}\right).$$

Rechenregeln

Vektoraddition: Zwei $n$-dimensionale Vektoren $\textbf{x}$ und $\textbf{y}$ werden koordinatenweise addiert: $$\textbf{x} + \textbf{y} = \left(\begin{array}{c}x_1 + y_1\\ \vdots\\x_n + y_n\end{array}\right).$$ Skalare Multiplikation: Ein Skalar, d.h. eine Zahl $c \in \mathbb{R}$, wird koordinatenweise mit einem Vektor $\textbf{x}$ multipliziert: $$c\textbf{x} = \left(\begin{array}{c}cx_1\\ \vdots\\cx_n\end{array}\right).$$

Für Skalare $c, d \in \mathbb{R}$ und Vektoren $\textbf{x}, \textbf{y},\textbf{z} \in \mathbb{R}^n$ gilt:

$(\textbf{x} + \textbf{y}) + \textbf{z} = \textbf{x} + (\textbf{y} + \textbf{z})$.
$c(\textbf{x}+\textbf{y}) = c\textbf{x} + c\textbf{y}$.
$(c+d)\textbf{x} = c\textbf{x} + d\textbf{x}$.

Lineare Unabhängigkeit

Für Vektoren $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k \in \mathbb{R}^n$ und Skalare $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb{R}$ heißt $$c_1\textbf{x}_1 + \cdots + c_k\textbf{x}_k$$ Linearkombination von $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k$. Ein Vektor $\textbf{y} \in \mathbb{R}^n$ ist linear kombinierbar aus den Vektoren $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k$, wenn es Skalare $c_1,\ldots,c_k \in \mathbb{R}$ gibt, sodass $$\textbf{y}=c_1\textbf{x}_1 + \cdots + c_k\textbf{x}_k.$$

Die Vektoren $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_k \in \mathbb{R}^n$ heißen linear unabhängig, wenn $$\textbf{0}=c_1\textbf{x}_1 + \cdots + c_k\textbf{x}_k$$ nur für $c_1= \ldots = c_k = 0$ gilt, sonst heißen die Vektoren linear abhängig.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\textbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)'$ und $\textbf{y} = (y_1,\ldots,y_n)'$ ist durch die Zahl $$\textbf{x}'\textbf{y} = \sum_{i=1}^n \, x_iy_i$$ gegeben.

Rechenregeln

Für Vektoren $\textbf{x}, \textbf{y}, \textbf{z} \in \mathbb{R}^n$ und $c \in \mathbb{R}$ gilt:

$\textbf{x}'\textbf{x}=\sum_{i=1}^n \, x_i^2$.
$\textbf{x}'\textbf{y}=\textbf{y}'\textbf{x}$.
$(\textbf{x} + \textbf{y})'\textbf{z}=\textbf{x}'\textbf{z} + \textbf{y}'\textbf{z}$.
$(c\textbf{x})'\textbf{y} = c\textbf{x}'\textbf{y} = \textbf{x}'(c\textbf{y})$.

Zwei Vektoren $\textbf{x}$ und $\textbf{y}$ mit $\textbf{x}'\textbf{y}=0$ heißen orthogonal (senkrecht) zueinander.

Norm

Die (euklidische) Norm des Vektors $\textbf{x} \in \mathbb{R}$ ist gegeben durch $$||\textbf{x}|| = \sqrt{\textbf{x}'\textbf{x}}.$$ Der Vektor $\textbf{x}$ ist normiert, wenn $||\textbf{x}|| = 1$.

Rechenregeln

Für Vektoren $\textbf{x}, \textbf{y} \in \mathbb{R}^n$ und $c \in \mathbb{R}$ gilt:

$||\textbf{x}|| = 0$ genau dann, wenn $\textbf{x}=\textbf{0}$.
$||\textbf{x} + \textbf{y}|| \leq ||\textbf{x}|| + ||\textbf{y}||$.
$||c\textbf{x}|| = c||\textbf{x}||$.
Jeder Vektor $\textbf{x} \neq \textbf{0}$ kann normiert werden: $\textbf{x}^{\ast} = \frac{\textbf{x}}{||\textbf{x}||}$ hat Norm 1.
Cauchy-Schwarz-Ungleichung: $|\textbf{x}'\textbf{y}| \leq ||\textbf{x}||\cdot||\textbf{y}||$.

Jede Abbildung, $||\cdot||: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, die die Rechenregeln 1. - 3. erfüllt, heißt Norm.

Winkel

Der Winkel zwischen zwei Vektoren $\textbf{x},\textbf{y} \in \mathbb{R}^n$ ist gegeben durch $$(\textbf{x},\textbf{y}) = \arccos\left(\frac{\textbf{x}}{||\textbf{x}||}\cdot\frac{\textbf{y}}{||\textbf{y}||}\right).$$.

Satz des Pythagoras

Für zwei orthogonale Vektoren $\textbf{x}, \textbf{y} \in \mathbb{R}^n$ gilt $||\textbf{x}+\textbf{y}||^2 = ||\textbf{x}||^2 + ||\textbf{y}||^2$.